La Fourmilière

Bonjour, je cherche depuis un moment une explication mathematique à une observation fortuite que voici:

1²=0+1=1
2²=0+2+2=1+3=4
3²=0+2+4+3=1+3+5=9
4²=0+2+4+6+4=1+3+5+7=16
5²=0+2+4+6+8+5=1+3+5+7+9=25
6²=0+2+4+6+8+10+6=1+3+5+7+9+11=36
7²=0+2+4+6+8+10+12+7=1+3+5+7+9+11+13=49
8²=0+2+4+6+8+10+12+14+8=1+3+5+7+9+11+13+15=64
9²=0+2+4+6+8+10+12+14+16+9=1+3+5+7+9+11+13+15+17=81
10²=0+2+4+6+8+10+12+14+16+18+10=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100

dit autrement, on aurait donc:

Soit N, un nombre entier:

N²= addition des N premiers nombres pairs+N=addition des N premiers nombres impairs...

Comment se faisse ?

Si une Belle ame mathematique acceptait de m'eclairer, j'y verrais certainement plus clair...

Merci d'avance.

Bienvenue ! Je laisse au "spécialistes" le soin de te répondre ... moi je suis déjà plus loin

(* en mode passe en coup de vent *)
cherche une explication ici :
(somme des k pour k allant de 1 à n) = n*(n+1)/2
ça se démontre par récurrence sur n.