Les nombres multidimensionnels (géométrie+algèbre=M-Théorie)

[octonion]

Bonjour, suite au résultat du petit sondage sur l'opinion des fourmis vis à vis de ce sujet scientifique et Werberien, nous allons pouvoir débattre des nombres multidimensionnels, et comprendre l'importance du nombre 8 (en tant que dimension).
Je vous rassure tout de suite, il ne s'agit pas de numérologie, mais bien de la compréhension de quelques théorèmes et objets mathématiques, peu connus mais fascinants, et dont je vous prouverais qu'ils ont rapport avec la théorie des cordes, ses espaces de calabi-yau et ses groupes de Lie E8, mais aussi avec la géométrie non commutative et ses sphères quantiques, en particulier S7 la sphère de dimension 7.
Là j'ai laché quelques mots clés pour que les experts voient que ce n'est pas de la blague. Mais mon interet est surtout de faire comprendre ces concepts non aux experts au fait de ce vocabulaire, mais à la communauté des fourmis dans son ensemble.

En préambule, je dirais que ce post a rapport avec les deux posts de Halvorc http://www.la-fourmiliere.com/forum/vie ... php?t=4465 et http://www.la-fourmiliere.com/forum/vie ... php?t=4942, et le post de cmaat http://www.la-fourmiliere.com/forum/vie ... php?t=6479.

Partons donc du plus simple, le nombre complexe.
Combinaison linéaire à coefficients réels de 1 et de i. i étant la racine carrée de -1. On écrit z=x+yi. On peut le représenter géométriquement dans un plan par le point de coordonnées x et y.

(je vais enrichir plus tard mon post par un petit dessin)

D'un point de vue géométrique, un nombre complexe est un point dans un plan.
D'un point de vue algébrique, additionner deux nombres complexes revient à faire une translation.
Ce qu'apporte l'algèbre (par rapport à un groupe), c'est une deuxième opération, outre l'addition, la multiplication.
Et la multiplication de deux nombres complexes, se traduit par une rotation et une homothétie, de façon géométrique.

(ça devient clair, parfaitement clair, avec un dessin ou une animation)

Donc grace aux nombres complexes et à leur algèbre, résumée par i²=-1, on peut additioner et multiplier des points d'un plan. (ou des vecteurs, mais n'alourdissons pas le vocabulaire)

Une symétrie centrale de centre 0 est une multiplication par -1.
Une symétrie par rapport à la droite réelle (y= partie imaginaire=0) est ce qu'on appelle l'opérateur de conjugaison.

En multipliant un nombre complexe par son conjugué, on obtient un nombre réel positif, le carré de sa norme (de sa longueur).

Et bien, si au lieu d'avoir juste une partie imaginaire i, on en prend 3, nommées couramment i,j et k, on obtient des nombres avec des propriétés similaires, tant algébriques que géométriques, mais de dimension 4, les quaternions. Seulement la multiplication n'est pas commutative. Cela a été découvert par Hamilton.

William Hamilton a parlé de sa découverte à un de ses amis, et moins d'un an après, celui-ci, Grave, lui a dit qu'il faisait pareil avec 7 parties imaginaires, et a appelé cela les octaves.

Hamilton s'est aperçu que la multiplication des octaves n'était plus associative: X(YZ) différait de (XY)Z, et pour cette raison ne devait pas avoir d'intéret en physique, puisque ne pouvait être représenté par des matrices.

Les octaves, désormais appellés octonions, tombèrent dans l'oubli pour environ 150 ans.

Puis...

[Délirius]

En gros ça veut dire qu'on ne peut pas avoir de 4 à 7 dimensions si j'ai bien compris (Ce qui a peu de chances d'être le cas...)

Pourrais-tu svp m'expliquer ça : "Et bien, si au lieu d'avoir juste une partie imaginaire i, on en prend 3, nommées couramment i,j et k, on obtient des nombres avec des propriétés similaires, tant algébriques que géométriques, mais de dimension 4, les quaternions. Seulement la multiplication n'est pas commutative. Cela a été découvert par Hamilton.

William Hamilton a parlé de sa découverte à un de ses amis, et moins d'un an après, celui-ci, Grave, lui a dit qu'il faisait pareil avec 7 parties imaginaires, et a appelé cela les octaves.

Hamilton s'est aperçu que la multiplication des octaves n'était plus associative: X(YZ) différait de (XY)Z, et pour cette raison ne devait pas avoir d'intéret en physique, puisque ne pouvait être représenté par des matrices."

Parce que je suis un peu perdu...

[cillbq]

Je n'ai pas un bagage scientifique trés évolué, j'ai plus une culture technique ( j'ai un bac en électronique, et un BTS en maintenance industrielle, donc assez loin des matières scientifiques classiques), pourtant, j'ai à peu prés compris ce qui était raconté dans l'articlee mais il est certain que des schémas faciliteraient grandement la compréhension... J'attend avec impatience la suite... en attendant, juste une petite question, ces nombres en 4 et 8 dimensions restent purement abstraits ou est ce qu'ils ont une réelle application ( je pense par exemple en mécanique, plus précisément en résistance des matériaux par exemple, avec les forces de torsions, compression et fléxions, tout ceci sur des objets en mouvement, je pense à des grandeurs telles que la vitesse et l'accélération ( c'est le mot vecteur que tu évoque dans l'article qui me met la puce à l'oreille...)

Est ce que je vais trop loin dans mon raisonnement, ou est ce que je suis sur la bonne voie ?

[octonion]

Les quaternions ont une application concrète directe, presque dans ton domaine, l'électronique, puisqu'ils sont utilisés dans les cartes graphiques 3D et surtout les librairies graphiques 3D. Ils sont alors représentés sous formes de matrice 4x4, et leur multiplication permet d'implémenter facilement les rotations dans l'espace 3D, et les combinaisons de rotations et de translations.

Les octonions n'ont par contre qu'une application théorique, et il s'agit d'une science émergente. Peu de scientifiques sont actuellement persuadés de leur intérêt. J'ai parlé à Alain Connes (le meilleur mathématicien contemporain du monde, professeur au collège de France, et inventeur de la géométrie non-commutative) de la possibilité de poursuivre sa démarche vers une géométrie non-associative, mais sa réponse de but en blanc a été un rejet, pour la raison que la causalité est associative. Malgré cela j'ai poursuivi dans ma direction et reste persuadé que c'est à raison; mais je suis mal à l'aise de diverger de l'intuition du meilleur au monde. Je crois qu'il est assez Werberien de persévérer même dans ce cas, non?

Les animations vont venir, je les ai déjà conçues dans ma tête (cette nuit!); il reste à les programmer. A priori je ferai ça en SVG, pour générer des GIF animées. Savez-vous si sur ce forum on peut mettre directement des SVG, c'est mieux car interactif. J'essaierai d'en poster déjà un pour voir, ma carte de voeux à toutes les fourmis.

En cherchant bien, on peut déjà trouver une application concrète des octonions, sur le web, c'est des images fractales faites à partir d'octonions au lieu de nombres complexes.

Enfin, je pense que ton niveau est largement suffisant pour comprendre ma théorie. Finalement, je crois que le niveau minimum est bac-2, soit seconde. On a les bases en géométrie du plan et en algèbre pour extrapoler cela aux dimensions plus grandes. Il suffit que j'utilise une méthode avec pédagogie graphique et interactive, au lieu d'assèner des définitions et de le terminologie... et aussi que la motivation des fourmis avides de savoir soit forte, mais je pense que la fourmilière est le bon endroit pour trouver ces fourmis.
Je dis ça parce qu'ailleurs il y a des fourmis qui croient que faire des maths c'est bon pour les cigales uniquement

***Ajout :***

Bonjour Delirius, je vais répondre aux points qui ne sont pas évidents, que tu soulignes. D'abord, il n'y a pas d'espaces de dimension 5,6,7... parce que ce ne sont pas des puissances de deux ?
Oui et Non: il n'y a pas d'espaces de ces dimensions qui soient ce qu'on appelle une algèbre de division ("Division Algebra" en anglais) sur R.
Une algèbre de division sur R, c'est des nombres à coordonnées réelles, formant aussi un espace vectoriel sur R (par rapport à l'addition), mais possédant une opération de multiplication, et surtout un inverse pour cette opération.
C'est équivalent à une algèbre normée, où chaque nombre a une norme (un réel positif) qui est sa distance au point zéro, qui vérifie que la norme du produit est le produit de la norme.
Donc un théorème prouve que les seules algèbres de division sur R sont R,C,H et O.
Par contre on peut définir des algèbres sur R de dimension 2^n, donc par exemple de dimension 16, qui ont les mêmes propriétés à part qu'il existe des diviseurs de zéro, des nombres a et b non nuls tels que ab=0.
Ces "sédenions" ne sont pas une algèbre de division, mais contiennent comme sous ensemble, R,C,H et O.
Les diviseurs de zéros sont des projecteurs et réalisent la brisure de symétrie entre les différents types de dimension, d'un point de vue physique, le temps issu de C, l'espace à 3 dimension issu de H, et l'espace interne de la théorie des cordes (le calabi-yau + 1 autre dimension) issu de O.

***Ajout :***

Voilà, c'est ma théorie en bref, et il n'y a pas plus élégant!
(le smiley utilisé s'appelle mrgreen, l'auteur de "L'univers Elegant")
"Elegant" c'est ainsi que je résume "the best unified overview I have seen in recent memory on mathematical representations in dimensions from 0 to 11.", l'avis d'un scientifique américain sur ce que j'en ai présenté lors d'une conférence en 2003:
http://www.cs.unca.edu/~dickson/IS03_TripReport.html
(note pour le webmestre c'est bizarre, quand je met entre tags url, j'obtiens
Expiration de délai CGI
L'application CGI spécifiée a dépassé le temps autorisé pour le traitement. Le serveur a supprimé le processus.
et sans les tags url, ça marche)
Les fourmis qui iront voir y trouveront aussi une référence à BW et un lien vers les slides de la conf sur mon site!
Cela dit, pas encore sur qu'elle soit la bonne M-Théorie; pour cela il y a encore du travail. (Et il y en a deja eu depuis 2003)
Dans d'autres posts j'expliquerai le passage de C à H puis à O que tu demandes.

Complément de réponse à cillbq.
En mécanique, les quaternions ont été utilisés, notamment pour exprimer une théorie de la relativité, par David Hestenes. Plus précisément c’était des bi-quaternions, nombres à 8 dimensions, complexification des quaternions (CxH), mais ne constituant pas une algèbre de division (car possédant des diviseurs de zéro comme les sedenions).
Par exemple, en relativité générale et électrodynamique, voir http://arxiv.org/abs/gr-qc/0007027

[Délirius]

Si j'ai bien compris, un octonion est un point qui a huit dimensions et qui grâce à ça peut engendrer des trucs intéressants?


octonion a dit: "J'ai parlé à Alain Connes (le meilleur mathématicien contemporain du monde, professeur au collège de France, et inventeur de la géométrie non-commutative) de la possibilité de poursuivre sa démarche vers une géométrie non-associative, mais sa réponse de but en blanc a été un rejet, pour la raison que la causalité est associative. Malgré cela j'ai poursuivi dans ma direction et reste persuadé que c'est à raison; mais je suis mal à l'aise de diverger de l'intuition du meilleur au monde. Je crois qu'il est assez Werberien de persévérer même dans ce cas, non? "

Moi je t'encourage à continuer dans cette voie, justement parce que les autres ne la croient pas digne d'être explorée.Comme disait je sais plus trop qui:"Si un scientifique connu assez âgé vous dit qu'une chose est possible, il a probablement raison.Mais si ce même scientifique vous dit qu'une chose est impossible, il a probablement tort."

[octonion]

un octonion est un point qui a huit dimensions et qui grâce à ça peut engendrer des trucs intéressants

c'est un excellent résumé, pas trop technique. Je te remercie.
Pour préciser par rapport à ça pourquoi il engendre des trucs interessants on peut prendre comme image un phénomène clef dans l'oeuvre de BW: L'oeuf.
En tant que fourmi, je n'étais qu'un oeuf hier!
Et bien vous savez comment l'oeuf évolue: par division cellulaire. Ce phénomène biologique, la genèse de la vie, est la mitose.
Une belle anim ici:http://www.biologieenflash.net/animatio ... bio-0079-1
La mitose du nombre réel donne le complexe, puis le quaternion, puis l'octonion. Pour la mitose de l'oeuf chacune des 3 premières divisions se fait dans une direction perpendiculaire, apres la troisième il y a un problèmè. Comme le monde physique est à 3 dimensions, il n'y a plus de dimension perpendiculaire possible. Coincidence, la mitose de l'octonion pour donner un sedenion rencontre aussi un problème, d'ordre mathématique et non physique: l'algèbre généré a forcément des diviseurs de zéro, et cesse d'etre une algèbre de division. L'octonion est ultime à ce niveau, c'est pourquoi il engendre des trucs interessants, comme les algèbres de Lie exceptionnelles G2, E6, E7 et E8, qui jouent un rôle essentiel en physique théorique. Ces algèbres existent car l'algèbre des octonions est de division, mais elles sont exceptionnelles car l'algèbre des octonion n'est plus associative. Cela est démontré par la construction qui s'appelle carré magique de Freudenthal-Tits, un espèce de sudoku avec des algèbres au lieu des chiffres.

[kermo]

L'idée c'est de chercher des propriétés communes aux objets mathématiques simples (les nombres) qui sont utiles en physiques, qui ont des applications concrètes ?
Comme les nombres de dimensions 1, 2 ou 4 sont utiles tu en déduis que les nombres de dimension 8 malgré leur multiplication non-associative, devrait aussi avoir une application ?
Je ne comprends pas en quoi c'est le travail des matheux que de chercher des applications des objets mathématiques, certes on peut toujours promouvoir auprès des physiciens des outils encore non utilisés, et voir s'ils ont une application, mais ça reste à eux de voir si ça peut leur servir, non ?

Les complexes décrivent les transformations du plan, les quaternions décrivent les transformations de l'espace (la non-commutatitivé se retrouvant dans les rotations de l'espace).
Que pourraient donc bien décrire les octaves ?

Par ailleurs je sais pas s'il y a grand monde ici qui a un bagage suffisant pour être très sensible à tout ça.

[octonion]

Que pourraient donc bien décrire les octaves ?

Les octaves pourraient décrire la structure de l'espace interne. Ce que la théorie des cordes appelle dimensions repliées. Cette structure, pour être compatible avec la physique, doit redonner le modèle standard, c'est à dire les différentes particules et forces que l'on connait. Cela implique des symétrie, assez compliquées. Justement, les octonions possèdent ces symétries. Plus précisément, les entiers des octonions forment le réseau E8, qui est aussi l'algèbre de Lie exceptionnelle de plus haute dimension, et fournit les symétrie d'une des versions de la théorie des cordes, celle appellée "Hétérotique E8xE8". Mais aussi les "automorphismes" (la voiture de Morpheus dans Matrix?), transformations linéaires des octaves en octaves forment le group G2 qui contient le fameux Calabi-Yau de la théorie des cordes qui décrit cet espace interne.

en quoi c'est le travail des matheux

Je ne sais pas pourquoi tu introduis une compétition et surtout un cloisonnement strict entre physiciens et matheux, mais ça reflète malheureusement l'état d'esprit de la communauté scientifique actuelle, à part quelque rares exceptions comme Bernard Julia de l'Institut Henri Poincaré et ses séminaires mathématico-physiques.
A ce niveau le matheux ne cherche pas à caser un outil à son collègue physicien, mais à lui expliquer pourquoi il l'utilise déjà et comment l'utiliser en toute connaissance de cause et non par tatonnement.
Un peu comme lorsqu'Einstein, grace à la relativité restreinte, à fait apparaitre les Equations de Maxwell en partant de principes simples, ce qui fait qu'on comprend mieux qu'elles ne sortent pas d'un chapeau.

Je me positionne plutot comme matheux, mais admets que les maths ne serviraient pas à grand chose si ce n'est à expliquer la physique et la réalité.

s'il y a grand monde ici qui a un bagage suffisant

J'espère que c'est plus une question de motivation que de bagage, et j'espère pouvoir fournir les bagages nécessaires aux hyper motivés de niveau seconde S.
Si j'interviens ici, c'est plutôt en métaphysique : au delà de la science qui cherche le comment de l'univers, je pense être arrivé à un point où on peut s'interroger aussi sur le pourquoi.
Pourquoi justement ? Parce que des théorèmes nous prouvent pourquoi on s'arrète aux octaves, et que cet ensemble fini construit la physique de l'univers dans lequel nous vivons. C'est une nouvelle approche, ce n'est ni un Dieu créateur, ni un principe anthropique, ni les extraterrestres, mais une réalité mathématique. D'une certaine façon les réalités mathématiques sont intemporelles et ont donc peut-être le pouvoir d'autocréation ?
Je crois qu'il faut me distinguer de nombreux charlatans qui proposent des théories de tout (TOE theory of Everything) finalement très vaseuses sur internet (je peux fournir des liens si ça vous intéresse), mais aussi des scientifiques établis qui ne peuvent se permettre d'oser trop innover (moi j'ai fait HEC dont la devise est apprendre à oser, seulement c'est la métaphysique et pas le commerce qui m'intéresse).
On peut me challenger sur les vrais aspects techniques que je cite.
Cependant toutes les remarques et reformulaitions que j'ai eu sur ce forum sur les aspects autres que techniques, mais sur l'intéret même du sujet, sa possibilité d'être compris du plus grand nombre, etc... m'encouragent et m'aident. Merci à vous. Lecteurs de BW, vous avez l'esprit ouvert et critique des gens de progrès, ceux qui ne se lavent pas leur cerveau avec leur télé

Enfin, comme on le verra, non seulement la physique et les maths convergent, mais aussi l'informatique qui devient une science et plus seulement une technologie. Car l'octave est en quelque sorte le codage faisant apparaitre au dela de la distance de Planck des particules ou ondes, de la matière et du rayonnement, alors qu'en deça ce n'est qu'une organisation d'information qui stocke courbure et énergie de par sa structure et sa géométrie. Peut-être là se trouve l'apport de la non associativité?
Enfin là je m'avance un peu, je n'ai pas les preuves.

[kermo]

Autrement dit les octaves pourraient être utiles pour décrire les objets dont on traite dans la théorie des cordes ? - il faut décidément que j'ouvre l'Univers Elégant qui traîne depuis longtemps sur mes étagères.

Concernant l'opposition entre matheux et physiciens je voulais juste dire que je ne comprenais pas ce désir de prédiction d'utilité, mais si des ressemblances entre les octaves - et donc les outils qui gravitent autour - et certains objets physiques est déjà avérée, alors c'est vrai qu'il est intéressant de voir si les deux mondes n'utilisent pas les mêmes objets, auquel cas cela donnerait un formalisme déjà connu pour manipuler des objets physiques encore flous.

Enfin, à peu près plein de scientifiques ont un jour été persuadés d'en être arrivé au pourquoi et je pense qu'il faut avoir un peu de recul là-dessus.
Pour ma part je ne crois pas au système d'équations ultime, misse-t-il en oeuvre des réels ou des octaves. Par ailleurs, quand bien même on décrirait les phénomènes physiques avec quelques équations portant sur des octaves, cela resterait de la description des phénomènes et pas de l'explication du pourquoi ils arrivent.

La métaphysique est terminée depuis un moment, pour ma part j'aurais tendance à chercher des réponses complémentaires du côté des neurosciences plutôt que des maths (mais c'est davantage mon domaine), quant au bagage dont je parle c'est simplement que pour avoir la motivation à percevoir l'intérêt de tels outils il faut probablement en avoir déjà utilisé quelques-uns, même plus simples.

[octonion]

l'Univers Elégant

Je ne le recommande qu'à moitié. Mais si tu l'as déjà lis-le. Il explique très bien la relativité, restreinte et générale. Concernant la théorie des cordes, il ne parle que de concepts vraiment de base, et constitue plutôt un plaidoyer pour justifier pourquoi tant de physiciens devrait travailler sur ce sujet. Je recommande beaucoup plus chaudement "The road to reality" de Roger Penrose, un ouvrage hyper complet, self-contenu, permettant d'aller d'un niveau terminale S au niveau DEA. (Penrose est un génie qui sait communiquer).Par contre la vidéo de Elegant Universe, qu'on peut voir en ligne sur internet http://www.pbs.org/wgbh/nova/elegant/program.html (malheureusement seulement en anglais) est très bien faite, à ne pas manquer. (Greene est un communiquant qui maitrise la physique théorique)

J'agrée avec ta vision sur l'irréalisme d'atteindre le pourquoi, l'ultime, et la vanité de la métaphysique, caricaturée en pataphysique.
L'esprit philosophique "Je sais que je ne sais rien" prouve sa puissance chaque jour.
Cependant c'était mon point de vue avant de découvrir des coincidences si poignantes entre des exceptions mathématiques et notre modèle de l'univers. Mais l'affaire n'est pas entendue!

Concernant les neurosciences, je partage aussi ton point de vue, sur leur importance, et surtout le fait qu'elle comportent une science essentielle actuellement située en dehors de tout modèle physique.
Ce qui distingue l'humain d'un robot complexe. Ce qui distingue la cellule vivante d'un robot simple. On a beaucoup à apprendre la dessus.
Dans ma théorie, sur les 16 dimensions de l'univers, 11 sont celles de la M-Théorie (1=le temps, 3 l'espace, 7 l'espace interne) et sont les angles dans les sphères parallélisables, Pour chacune de ces trois sphères, il y a aussi le rayon local de la sphère, donc la courbure, la masse. Les deux autres dimensions sont la sphère S0 et son rayon, semblable à une energie, Toutes ces sphères structurent la partie imaginaire du sedenion (le nombre à 16 dimensions, après l'octonion) et constituent le modèle physique. Il reste la dimension réelle du sédenion, qui pourrait être associée à autre chose, une information non physique... d'ordre cognitif peut-être

[kermo]

Cependant c'était mon point de vue avant de découvrir des coincidences si poignantes entre des exceptions mathématiques et notre modèle de l'univers. Mais l'affaire n'est pas entendue!

Chaque physicien, chimiste ou à la rigueur matheux qui arrive à une certaine finesse de prédiction ou de description des phénomènes physiques en vient à s'asseoir deux secondes et à se demander s'il n'aurait pas découvert la formule qui tue, la façon dont les dés de Dieu sont pipés, le pourquoi ça tombe aussi bien.

Pour ma part je suis chercheur en apprentissage artificiel, autrement dit je passe pas mal de temps à jouer aux dés - et force est de constater qu'il y a une force corrélation entre ce qu'on appelle l'intelligence, et la faculté à avoir l'impression que les dés tombent bien, ou à bien les faire tomber. Les choses intelligentes sont attirées vers ce qui n'a pas l'air d'être du hasard, ce qui ne veut pas dire qu'il y en a presque partout, juste que comme c'est pas très amusant à regarder on se concentre sur ce qui a l'air plus structuré.
Un simple algorithme d'apprentissage est l'inverse un pataphysicien : c'est un furieux filtre à clous qui dépassent - on n'est plus très loin de croire en un Dieu des planchers lisses.

[Délirius]

Donc si je te suis bien octonion, selon toi l'univers a précisément huit dimensions spatiales et une dimension temporelle c'est ça?

Peux-tu m'expliquer ce qu'est le sédenion dont tu parlais plus haut?Un truc avec encore plus de dimensions?

Ps:C'est quoi la seconde S (parce qu'au Québec je ne sais pas à quoi ça correspond...)?

[octonion]

huit dimensions spatiales et une dimension temporelle

trois dimensions spatiales, une dimension temporelle, et sept dimensions spatiales internes (ou repliées). Pour imaginer ce qu'est une dimension repliée, imaginer une fourmi qui se balade sur une petite branche, elle peut aller d'un bout à l'autre dans le sens de la longueur, comme sur une des 3 dimensions ordinaires, mais aussi faire le tour sur la dimension repliée (le diamètre de la branche), pour les humains cette dimension est plus dure à voir, ils l'ignorent à plus grande échelle.

seconde S

c'est deux ans avant le bac (vers 16 ans donc), et c'est la section scientifique qui fait plus de math que les sections économie, biologie ou littéraire ou autres.

sédenion

exactement, la complexification de l'octonion (suivant le processus dit de Cayley-Dickson); il a 16 dimensions, ce n'est plus une algèbre normée car on peut avoir deux sédénions non nuls dont le produit fait zéro. On les appelle diviseurs de zéro.
Mais les sedenions sont interessants car on peut décomposer leurs 16 dimensions en 8+4+2+1+1 et donc en

• une partie octonionique,
• une partie quaternionique,
• une partie complexe,
• une partie réelle et une autre partie réelle.

De chaque partie on garde la partie imaginaire qui devient une sphère (par l'opération d'exponentiation, comme

Code : Tout sélectionner

exp(it)

décrit un cercle), et on affecte la partie réelle (ou plutot son exponentielle, qui est positive) au rayon de la sphère.

• Les sept dimensions imaginaires de la partie octonion du sedenion donne la sphère S7 qui sert d'espace interne.
• Les trois dimensions imaginaires de la partie quaternion donnent la sphere S3, qui correspond à notre univers à 3 dimension, fini (et non pas infini) mais sans borne (il n'y a rien au-dela).
• La dimension imaginaire de la partie complexe donne le temps et dans ce modèle il est bouclé.

Mais une singularité a pu exister pour un big bang si son rayon était tout petit à un moment. En bref le sedenion sert à unifier naturellement des dimensions de natures diverses.

[Erratique]

Bon, tout d'abord bravo pour ce topic, qui a le mérite de vouloir vulgariser la théorie des cordes (entre autres).

Cependant, plusieurs choses me chagrinent :
- tout d'abord il n'y a pas de 2ndS, la spécialité se prend en 1ere ^^ (bon, ça ça me chagrine vraiment très peu ! )
- hélàs, le fait de parler de multiples dimensions a tendance à faire germer des idées d'un espace avec d'autres dimensions physiques et alimente certaines théories vaseuses dans l'esprit de personnes qui pensent avoir compris alors qu'elles passent totalement à côté (mais là tu n'y es pour rien ^^)
- mod modo : pour les SVG, je ne crois pas que les forums phpbb les supportent directement, mais des gif seront de toute façon suffisant pour les homothéties

Maintenant, le fond du problème, déjà abordé par Kermo : la finalité de ces recherches.
Même si je n'ai pas continué sur la voie des mathématiques, j'en ai fait assez pour voir leur puissance, leur efficacité (term S spé math, TPE qui vont chatouiller les oreilles de Planck, etc). Mais ils restent des outils pour expliquer, non "le réel" dans l'absolu, mais des phénomènes réels. Au mieux, on parvient à voir un nombre intrigant de coïncidences, mais arriver à lire le "code" de l'univers n'en expliquera jamais le "pourquoi", ni même "l'origine" de ce code.

[octonion]

Bonjour erratique. Merci d'avoir relevé cette erreur. La scdeS n'existe pas, on va tenter de s'adresser au niveau seconde. J'en ai donc profité pour réviser un bouquin de math de scde de cette année (collection hyperbole) pour faire le point sur les connaissances acquises, et à acquérir.
Acquises: Le plan, les coordonnées x et y, les vecteurs, la colinéarité, les transformations isométriques, les angles et rotations, les fonctions sinus et cosinus, le théorème de Pythagore.
A acquérir, et donc si j'en parle je devrai détailler: L'espace, les coordonnées x,y,z, les coordonnées polaires, la distance, les produits scalaires et vectoriels, les combinaisons linéaires et espaces vectoriels, les fonctions exponentielle et logarithme, les nombres complexes, les matrices.
Merci aussi de modérer l'enthousiasme lyrique qu'on tout ceux qui parlent de dimensions... auquel je n'ai pas échappé.
Pour les SVG je les mettrai alors sur mon site et ferai des gif ici.
D'accord avec ton point de vue que le modèle du réel n'est pas le réel, j'avais tendance à l'oublier

jamais le "pourquoi", ni même "l'origine"

qui sait? on peut toujoure rêver

[baka]

Je voudrais avoir quelque precisions :
avec les sédenions on a donc un espace à 16 dimensions ?
Et il serait possible de diviser par 0 grâce à cet ensemble ?
Donc les sédenions seraient le dernier ensemble qui existe non vu que diviser par 0 c'est déja ... assez difficile à concevoir mathématiquement parlant donc que reste-il comme règle du "jeu" une fois cette étape franchie?
Enfin pour tout le monde on dirait que ça a l'air relativement facile à concevoir mais pour moi j'avoue être un peu embrouillé.. enfin même en étant très motivé je ne pense pas qu'on puisse comprendre à 100% tout ce qui se cache derrière les nombres hypercomplexes à partir du bagage de seconde, vu qu'il faudrait déja saisir le concept de nombre complexe qu'on apprend en terminale S.. et vu que je ne suis qu'en 1° ça me semble assez obscur.
Bref j'ai l'impression d'être un 6ème à qui on essaierait d'inculquer la notion de vecteurs.. j'ai une vague intuition c'est tout .

[kermo]

Je voudrais avoir quelque precisions :
avec les sédenions on a donc un espace à 16 dimensions ?
Et il serait possible de diviser par 0 grâce à cet ensemble ?

Pas diviser par zéro mais diviser zéro : tu prends deux nombres non nuls a et b, et tu as pourtant a*b = 0.
On ne peut pas diviser par zéro, dans aucune algèbre car la définition de 0 est : pour tout x, x*0 = 0 et 0*x = 0.
Du coup, une division par 0 aurait plusieurs résultats ce qui n'a pas de sens.

vu qu'il faudrait déja saisir le concept de nombre complexe qu'on apprend en terminale S.. et vu que je ne suis qu'en 1° ça me semble assez obscur.
Bref j'ai l'impression d'être un 6ème à qui on essaierait d'inculquer la notion de vecteurs.. j'ai une vague intuition c'est tout .

Un nombre complexe est simplement un vecteur à 2 dimensions, qu'on note comme un nombre et pour lequel on définit les opérations usuelles (addition, etc.) qui sont tout simplement des fonctions des 2 composantes de ce vecteur, qu'on appelle partie réelle et partie imaginaire.